必要条件と十分条件の関係

必要条件と十分条件の関係
必要条件と十分条件の関係
x=3x=3が成り立つならx>2x>2が成り立つ
AAが成り立つならBBが成り立つ
A  ⟹  BA \implies B
「x=3x=3」が成り立つなら「x>2x>2」は必ず成り立ちますよね。このように、条件AAが成り立つなら、条件BBが必ず成り立ことを、A  ⟹  BA \implies Bと書き、「AならばB」とよみます。
A  ⟹  BA \implies B
BBはAAの必要条件
AAはBBの十分条件
この時、BBはAAの必要条件です。Bが必然的に成り立つからですね。また、AAはBBの十分条件です。Aさえ成り立てば十分だからですね。
A  ⟹  B,B  ⟹  AA \implies B, B \implies A
AAはBBの必要十分条件
AAとBBは「同値」
A  ⟹  BA \implies BとB  ⟹  AB \implies Aがどちらも言える時、AはBの必要十分条件と言います。Bも、Aの必要十分条件です。またこの時AとBは「同値」と言います。
x2=4x^2=4の必要十分条件
x2+1=5x^2+1=5
2x2=82x^2=8
x=2x=2またはx=−2x=-2
x=±2x=\pm2
例えば「x2=4x^2=4」の必要十分条件はx2+1=5x^2+1=5、2x2=82x^2=8など、無数にありますが、その中で最もシンプルなのは「x=2x=2またはx=−2x=-2」でしょう。x=±2x=\pm2と略記することが多いですね。このように、何かを求めさせる数学の問題は、シンプルな必要十分条件を求めろということです。