等速円運動の加速度

等速円運動の加速度
加速度はベクトル
向き・大きさ
等速円運動の加速度について。加速度というのはベクトルですから、向きと大きさを持ちます。
等速円運動の加速度はこんな感じで、円軌道の中心方向を向いています。何故でしょうか。
時間Δt\Delta tの間の速度変化
速度変化
Δv⃗=v1⃗−v0⃗\vec{\Delta v}=\vec{v_1}-\vec{v_0}
時間Δt\Delta tの間に速度ベクトルがv0⃗\vec{v_0}からv1⃗\vec{v_1}に変化したとします。v0⃗\vec{v_0}とv1⃗\vec{v_1}は長さが同じで、なす角がωΔt\omega \Delta tです。このとき、始点を揃えて、v0⃗\vec{v_0}の先端からv1⃗\vec{v_1}の先端に引いた矢印が、速度変化Δv⃗=v1⃗−v0⃗\vec{\Delta v}=\vec{v_1}-\vec{v_0}です。
時間Δt→0\Delta t \rightarrow 0のとき
時間Δt\Delta tが限りなく0に近いとき、速度の変化Δv⃗\vec{\Delta v}はv0⃗\vec{v_0}に垂直。図のまっすぐ左向きになりますね。つまり、瞬間的な速度の変化は円の中心方向だということです。これが加速度の向きです。
加速度の大きさ
v=rωv=r \omega
vωΔt=rω2Δtv \omega \Delta t = r\omega ^2 \Delta t
a=rω2ΔtΔt=rω2a = \frac{r \omega ^2 \Delta t}{\Delta t} = r \omega ^2
a=v2ra = \frac{v ^2}{r}
続いて大きさ。この二等辺三角形を扇形で近似すると、弧の長さが速度変化の大きさになります。速度の大きさをvvとすると、中心核がωΔt\omega \Delta tなので、速度の変化はvωΔtv \omega \Delta t。v=rωv=r\omegaという関係を思い出して、vωΔt=rω2Δtv \omega \Delta t = r\omega ^2 \Delta t。求める加速度の大きさは、Δt\Delta tで割って、a=rω2a = r \omega ^2となります。a=v2ra = \frac{v ^2}{r}としても同じですね。