等速円運動の向心力

等速円運動の向心力
等速円運動、向心力の使い方
質量mm
半径rr
角速度ω\omega
速さvv
質量mmの物体が半径rr、角速度ω\omega、速さvvの等速円運動をしているとき、
a=rω2=v2ra = r \omega ^ 2=\frac{v^2}{r}
F=maF = maより
F=mrω2=mv2rF = mr \omega ^ 2=\frac{mv^2}{r}
「向心力」
等速円運動の加速度は中心方向にa=rω2=v2ra = r \omega ^ 2=\frac{v^2}{r}なので、F=maF = maより、この物体にかかっている力の合力はF=mrω2=mv2rF = mr \omega ^ 2=\frac{mv^2}{r}のはずです。これを「向心力」と呼びます。ここからはmv2r\frac{mv^2}{r}を使うことにしますね。
重力・垂直抗力
向心力の正体は
摩擦力
f=mv2rf =\frac{mv^2}{r}
例えば、回転円盤の上に物体がある場合、重力と垂直抗力は相殺しているので考えなくてよく、向心力の正体は摩擦力で、摩擦力の大きさは、f=mv2rf = \frac{mv^2}{r}です。
こうじゃない！
摩擦力の他に向心力という力があるわけではないので気をつけて。
円錐振り子の場合は、働いてる全ての力、つまり、張力SSと重力mgmgの合力が向心力になります。
r=lsin⁡θr=l \sin \theta
Scos⁡θ=mgS \cos \theta = mg
mgtan⁡θ=mv2rmg \tan \theta = \frac{mv^2}{r}
l,θl, \thetaを図のように置くと、円軌道の半径r=lsin⁡θr = l \sin \thetaです。合力が円軌道の中心方向にmv2r \frac{mv^2}{r}となるように平行四辺形を書くとこうなって、Scos⁡θ=mgS \cos \theta = mgやmgtan⁡θ=mv2rmg \tan \theta = \frac{mv^2}{r} が成立します。ここから張力や周期が計算できます。
張力S=mgcos⁡θS=\frac{mg}{\cos \theta}
周期T=2πrv=2πrrgtan⁡θ=2πrgtan⁡θ=2πlcos⁡θgT=\frac{2 \pi r}{v}\\[1em]= \frac{2 \pi r}{\sqrt{rg \tan \theta }}\\[1em] =2\pi\sqrt{\frac{r}{g \tan \theta}} \\[1em] =2\pi\sqrt{\frac{l \cos \theta}{g }}
実際に計算するとこうなります。