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等速円運動〜微分〜

等速円運動〜微分〜

等速円運動の公式を微分で導く
v=rωv=r \omega
a=rω2a=r \omega ^2
等速円運動の速度と加速度の公式を、微分を使って手っ取り早く導いてみましょう。
速度=位置の時間微分
v⃗=dx⃗dt\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}
加速度=速度の時間微分
a⃗=dv⃗dt=d2x⃗dt2\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}
速度とは位置を時間で微分したもので、加速度とは速度を時間で微分したものです。
半径rr
角速度ω\omega
円軌道に対してこんな感じで座標を設定します。半径はrr、角速度はω\omega、時刻t=0t=0にxx軸正の部分からスタートしたとします。
x⃗=(rcos⁡ωtrsin⁡ωt)\vec {x} =\begin{pmatrix} r \cos \omega t \\ r \sin \omega t \end{pmatrix}
=r(cos⁡ωtsin⁡ωt)=r\begin{pmatrix} \cos \omega t \\ \sin \omega t \end{pmatrix}
すると、時刻ttにおける物体の座標は(rcos⁡ωt,rsin⁡ωt)( r \cos \omega t, r \sin \omega t)となります。それをこのような位置ベクトルx⃗\vec{x}で表します。縦に書いてますがただのベクトルの成分表示です。rrを前に出して書くこともできます。ではこれを微分しましょう。
v⃗=dx⃗dt\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}
=ddtr(cos⁡ωtsin⁡ωt)= \frac{d}{dt}r\begin{pmatrix} \cos \omega t \\ \sin \omega t \end{pmatrix}
=r(ddtcos⁡ωtddtsin⁡ωt)= r\begin{pmatrix} \frac{d}{dt} \cos \omega t \\ \frac{d}{dt} \sin \omega t \end{pmatrix}
=r(−ωsin⁡ωtωcos⁡ωt)= r\begin{pmatrix} - \omega \sin \omega t \\ \omega \cos \omega t \end{pmatrix}
=rω(−sin⁡ωtcos⁡ωt)= r \omega \begin{pmatrix} - \sin \omega t \\ \cos \omega t \end{pmatrix}
速度は位置を時間で微分したものです。位置は先程のx⃗\vec {x}です。ベクトルの微分は成分ごとに微分すればいいのでこのようになります。ω\omegaも前に出しちゃいましょう。
∣v⃗∣=rωsin⁡2ωt+cos⁡2ωt|\vec{v}|=r \omega \sqrt{\sin ^2 \omega t + \cos ^2 \omega t}
=rω=r \omega
これを物体の位置に図示するとこうです。まさに進行方向を表していますね。速度の大きさ、つまり速さはrωr \omegaとなります。
a⃗=dv⃗dt\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}
=ddtrω(−sin⁡ωtcos⁡ωt)= \frac{d}{dt}r \omega \begin{pmatrix} -\sin \omega t \\ \cos \omega t \end{pmatrix}
=rω(ddt(−sin⁡ωt)ddtcos⁡ωt)= r\omega\begin{pmatrix} \frac{d}{dt} (-\sin \omega t )\\ \frac{d}{dt} \cos \omega t \end{pmatrix}
=rω(−ωcos⁡ωt−ωsin⁡ωt)= r\omega\begin{pmatrix} - \omega \cos \omega t \\ -\omega \sin \omega t \end{pmatrix}
=−rω2(cos⁡ωtsin⁡ωt)= -r \omega^2 \begin{pmatrix} \cos \omega t \\ \sin \omega t \end{pmatrix}
=−ω2x⃗= - \omega^2 \vec{x}
加速度は速度を時間で微分したものです。同じように成分ごとに微分するとこのようになります。−ω-\omegaは前に出しちゃいましょう。位置ベクトルx⃗\vec{x}を使って書くことも出来ます。
∣a⃗∣=rω2cos⁡2ωt+sin⁡2ωt|\vec{a}|=r \omega^2 \sqrt{\cos ^2 \omega t + \sin ^2 \omega t}
=rω2=r \omega^2
これを物体の位置に図示するとこうです。中心方向を表していますね。加速度の大きさはrω2r \omega^2となります。これで等速円運動の速度と加速度が導けました。
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