等速円運動〜微分〜

等速円運動の公式を微分で導く

v=r \omega

a=r \omega ^2

等速円運動の速度と加速度の公式を、微分を使って手っ取り早く導いてみましょう。

速度=位置の時間微分

\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}

加速度=速度の時間微分

\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}

速度とは位置を時間で微分したもので、加速度とは速度を時間で微分したものです。

半径

r

角速度

\omega

円軌道に対してこんな感じで座標を設定します。半径は

r

、角速度は

\omega

、時刻

t=0

に

x

軸正の部分からスタートしたとします。

\vec {x} =\begin{pmatrix} r \cos \omega t \\ r \sin \omega t \end{pmatrix}

=r\begin{pmatrix} \cos \omega t \\ \sin \omega t \end{pmatrix}

すると、時刻

t

における物体の座標は

( r \cos \omega t, r \sin \omega t)

となります。それをこのような位置ベクトル

\vec{x}

で表します。縦に書いてますがただのベクトルの成分表示です。

r

を前に出して書くこともできます。ではこれを微分しましょう。

\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}

= \frac{d}{dt}r\begin{pmatrix} \cos \omega t \\ \sin \omega t \end{pmatrix}

= r\begin{pmatrix} \frac{d}{dt} \cos \omega t \\ \frac{d}{dt} \sin \omega t \end{pmatrix}

= r\begin{pmatrix} - \omega \sin \omega t \\ \omega \cos \omega t \end{pmatrix}

= r \omega \begin{pmatrix} - \sin \omega t \\ \cos \omega t \end{pmatrix}

速度は位置を時間で微分したものです。位置は先程の

\vec {x}

です。ベクトルの微分は成分ごとに微分すればいいのでこのようになります。

\omega

も前に出しちゃいましょう。

|\vec{v}|=r \omega \sqrt{\sin ^2 \omega t + \cos ^2 \omega t}

=r \omega

これを物体の位置に図示するとこうです。まさに進行方向を表していますね。速度の大きさ、つまり速さは

r \omega

となります。

\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}

= \frac{d}{dt}r \omega \begin{pmatrix} -\sin \omega t \\ \cos \omega t \end{pmatrix}

= r\omega\begin{pmatrix} \frac{d}{dt} (-\sin \omega t )\\ \frac{d}{dt} \cos \omega t \end{pmatrix}

= r\omega\begin{pmatrix} - \omega \cos \omega t \\ -\omega \sin \omega t \end{pmatrix}

= -r \omega^2 \begin{pmatrix} \cos \omega t \\ \sin \omega t \end{pmatrix}

= - \omega^2 \vec{x}

加速度は速度を時間で微分したものです。同じように成分ごとに微分するとこのようになります。

-\omega

は前に出しちゃいましょう。位置ベクトル

\vec{x}

を使って書くことも出来ます。

|\vec{a}|=r \omega^2 \sqrt{\cos ^2 \omega t + \sin ^2 \omega t}

=r \omega^2

これを物体の位置に図示するとこうです。中心方向を表していますね。加速度の大きさは

r \omega^2

となります。これで等速円運動の速度と加速度が導けました。