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位置・速度・加速度

位置・速度・加速度

位置・速度・加速度
位置・速度・加速度について。
x⃗=(xy)\vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
位置は基準点からのベクトルx⃗\vec{x}で表されます。ベクトルの成分は縦に書きますね。
v⃗=dx⃗dt\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}
速度は位置の時間微分dx⃗dt\frac{d\vec{x}}{dt}です。進行方向を向いてますね。微分は成分ごとに計算します。
a⃗=dv⃗dt=d2x⃗dt2\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{x}}{dt^2}
加速度は速度の時間微分dv⃗dt\frac{d\vec{v}}{dt}です。ゴム紐で引っ張ってるみたいですね。
x⃗=r(cos⁡ωtsin⁡ωt)\vec{x}=r\begin{pmatrix} \cos\omega t \\ \sin\omega t \end{pmatrix}
時刻ttでの位置がわかれば、それを微分して速度・加速度を求められます。例えば等速円運動の場合、 位置x⃗\vec{x}をこのように書けるので、
v⃗=rω(−sin⁡ωtcos⁡ωt)\vec{v}=r\omega \begin{pmatrix} -\sin \omega t \\ \cos \omega t \end{pmatrix}
速度はこうなって進行方向向き、
a⃗=−rω2(cos⁡ωtsin⁡ωt)\vec{a} = -r\omega^2\begin{pmatrix}\cos\omega t \\ \sin \omega t \end{pmatrix}
加速度はこうなって中心向きです。
a⃗=(a0)\vec{a}=\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}
逆に加速度a⃗\vec{a}がわかっている時はそれを積分して速度・位置を求められます。例えば加速度a⃗\vec{a}が一定値(a,0)(a,0)の等加速度運動なら、
v⃗=(v0x+atv0y)\vec{v}=\begin{pmatrix}v_{0x}+at\\v_{0y}\end{pmatrix}
速度はこうなり進行方向向き、
x⃗=(x0+v0xt+12at2y0+v0yt)\vec{x}=\begin{pmatrix}x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\y_0+v_{0y}t\end{pmatrix}
位置はこうなります。初速度や初期位置は積分定数にあたります。
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