相対運動

相対運動
相対運動とは、ある物体を別の観測者から見た時の運動です。別の観測者というのは別の座標系のことです。
例えば、ある座標系で見て(3,4)にいる人は、別のある座標系から見ると(-1,2)にいます。
ある座標系で見て右に動いている人は、別のある座標系から見ると左下に動いています。この辺りの話を整理してみます。
xA⃗=(xy)\vec{x_A}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
ある座標系でのAさんの位置をxA⃗=(x,y)\vec{x_A}=(x,y)とします。x, yは時間変動します。
xB⃗=(pq)\vec{x_B}=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}
ここで、Bさんの位置をxB⃗=(p,q)\vec{x_B}=(p,q)として、そこを原点とする座標系を考えます。p,qも時間変動します。座標系は回転しないことにしますね。
xAB⃗=xA⃗−xB⃗=(x−py−q)\vec{x_{AB}}=\vec{x_A}-\vec{x_B}=\begin{pmatrix} x-p\\y-q\end{pmatrix}
このときAさんは、Bさんの座標で見ると、xAB⃗=xA⃗−xB⃗=(x−p,y−q)\vec{x_{AB}}=\vec{x_A}-\vec{x_B}=(x-p,y-q)にいます。言うなれば「相対位置」です。
xAB⃗=xA⃗−xB⃗\vec{x_{AB}}=\vec{x_A}-\vec{x_B}
vAB⃗=ddtxAB⃗\vec{v_{AB}}=\frac{d}{dt}\vec{x_{AB}}
=ddtxA⃗−ddtxB⃗=\frac{d}{dt}\vec{x_A}-\frac{d}{dt}\vec{x_B}
=vA⃗−vB⃗=\vec{v_A}-\vec{v_B}
xAB⃗=xA⃗−xB⃗\vec{x_{AB}}=\vec{x_A}-\vec{x_B}を時間微分すると、vAB⃗\vec{v_{AB}}が出てきますが、このように項別に微分すればよく、vA⃗−vB⃗\vec{v_A}-\vec{v_B}となります。これが「Bから見たAの相対速度」です。
vAB⃗=vA⃗−vB⃗\vec{v_{AB}}=\vec{v_A}-\vec{v_B}
aAB⃗=ddtvAB⃗\vec{a_{AB}}=\frac{d}{dt}\vec{v_{AB}}
=ddtvA⃗−ddtvB⃗=\frac{d}{dt}\vec{v_A}-\frac{d}{dt}\vec{v_B}
=aA⃗−aB⃗=\vec{a_A}-\vec{a_B}
また、vAB⃗=vA⃗−vB⃗\vec{v_{AB}}=\vec{v_A}-\vec{v_B}を時間微分すると、aAB⃗\vec{a_{AB}}が出てきますが、このように項別に微分すればよく、aA⃗−aB⃗\vec{a_A}-\vec{a_B}となります。これが「Bから見たAの相対加速度」です。
xAB⃗=xA⃗−xB⃗\vec{x_{AB}}=\vec{x_A}-\vec{x_B}
vAB⃗=vA⃗−vB⃗\vec{v_{AB}}=\vec{v_A}-\vec{v_B}
aAB⃗=aA⃗−aB⃗\vec{a_{AB}}=\vec{a_A}-\vec{a_B}
これらをまとめると、Bさんの座標系で見たAさんの位置・速度・加速度は、xAB⃗=xA⃗−xB⃗\vec{x_{AB}}=\vec{x_A}-\vec{x_B}、vAB⃗=vA⃗−vB⃗\vec{v_{AB}}=\vec{v_A}-\vec{v_B}、aAB⃗=aA⃗−aB⃗\vec{a_{AB}}=\vec{a_A}-\vec{a_B}となり、全て「観測対象-観測者」、簡単に言うと「相手-自分」の形になります。