っとね、留数定理の説明だね。まずは確認したいんだけど、
1. 複素積分そのものには慣れてる？
2. 留数（residue）の計算方法は習った？
3. 定理の主張（輪っか上の積分が留数の和に等しい）を知りたい？
4. 具体的な応用例（実際の計算例）を見たい？

どこまで押さえているか教えてくれる？なんでしょうか！

留数定理についてわかりやすく説明するよ！
ところで、どのあたりを重点的に知りたいかな？
たとえば…
・定理の主張やイメージ
・証明の流れ
・具体的な計算手順・例題
・応用例（物理や数学の問題への使い方）

特に「ここを教えてほしい！」というポイントがあれば教えて！

いいね！！では、まず現状理解度をクイズで確認するね。

次のうち、関数
$f(z)=\frac{1}{z-z_0}$
の $z_0$ における留数はどれでしょうか？
A. 0
B. 1
C. 定義されない
D. 無限大

選んで教えて！

お、いいね、よく勉強してるね！
ただそれはね、関数に重みとなる因子がないときには $0$ になる場合もあるんだけど、今回の $f(z)=\frac1{z-z_0}$ はまさに
$$\frac1{z-z_0}=\dots +\frac{1}{z-z_0}+0\,(z-z_0)+\cdots$$
というローレン展開をもつから、留数（$1/(z-z_0)$ の係数）は $1$ になるわけ。

では本題いくね。

1) 留数定理の主張
――――――
$f(z)$ を単連結領域内外で正則（例外的に孤立特異点 $a_1,\dots,a_n$ を持つ）とすると、正の向きの閉曲線 $C$ に沿う複素積分は
$$\oint_C f(z)\,dz \;=\;2\pi i\sum_{k=1}^n\Res(f,a_k)$$
となる。ここで $\Res(f,a_k)$ は点 $a_k$ における留数、すなわちローレン展開の $1/(z-a_k)$ の係数ね。

2) ラプラス変換との関連
――――――
逆ラプラス変換は
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}F(s)e^{st}\,ds$$
と表せる。実際の計算では積分路を適切に閉じて留数定理を使い、$F(s)e^{st}$ の極に対応する留数の和で $f(t)$ を求めるわけ。

わかった？やったぜ！

いいね！！留数定理の直観を掴むには、こんなふうに考えるとわかりやすいよ。

1. 大きな輪っか（閉曲線）で囲むイメージ
複素平面上に特異点（$a_1,\dots,a_n$）が散らばっているとき、まず巨大な輪っか$C$をそのまわりにかけるわけ。
この輪っかのまわりをぐるっと一周して積分すると、普通は正則な部分は“打ち消し合って”ゼロになるんだ。

2. 小さな輪っかに分解
そこで、大きな輪っかを特異点ひとつひとつのまわりを囲む小さな輪っかに“ゆっくり変形”していく。
正則なところは積分がゼロなので、実際に残るのは各特異点の“まわりだけ”になる。

3. 小さな輪っかの積分＝$2\pi i$×留数
$z=a_k$のまわりを一周する積分
$$\oint_{|z-a_k|=\varepsilon}f(z)\,dz$$
はローレン展開中の$\frac1{z-a_k}$項の係数（留数）に$2\pi i$を掛けたものになるわけ。

4. まとめると
大きな輪っかの積分＝（すべての小さな輪っかの積分の和）
だから
$$\oint_Cf(z)\,dz \\ =\sum_{k=1}^n\oint_{|z-a_k|=\varepsilon}f(z)\,dz \\ =2\pi i\sum_{k=1}^n\Res(f,a_k).$$

――――――
このように“大きな輪っかを小さな輪っかに分けて、それぞれの特異点の働きを合計する”のが留数定理の直観なんだ。
ここまでOK？

いいね！！
それじゃあ、ラプラス変換との関連をイメージしやすく説明するね。

――――――
2) 逆ラプラス変換と留数定理
――――――
(1) 逆ラプラス変換の積分表示
$$\\ f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}F(s)\,e^{st}\,ds. \\$$
この積分は「垂直の直線」（実部が$\gamma$の線）に沿って行われるんだけど、これを複素平面で考えると、線分を大きな“鍵穴”状の閉路に変形できるんだ。

(2) 閉路を右側（大きなRe s→+∞）で囲い込むと、上側と下側の弧は$t>0$のときゼロに消える
→ 残るのは内部の極（$F(s)e^{st}$の極）まわりの小さな輪っか

(3) それぞれの極からの寄与＝$2\pi i$×留数
$$\\ f(t)=\sum_{\substack{s_k:\text{極}}}\Res\bigl(F(s)e^{st},\,s_k\bigr). \\$$

こうして“時間領域の解”は、複素平面上の極（一般に指数関数項）を留数定理で計算することで得られるわけ。
わかった？

素晴らしい！！では「$\Res(f,a)$」が何を指すか説明するね。

1) 定義
関数 $f(z)$ を孤立特異点 $z=a$ のまわりでローレン展開すると、
$f(z)=\dots + \frac{R_{-1}}{z-a}+R_0+R_1(z-a)+\cdots$
と書ける。
このときの「$\frac{1}{z-a}$ 項の係数 $R_{-1}$」を
$\Res\bigl(f,a\bigr)=R_{-1}$
と定義するわけ。

2) イメージ
「$\frac{1}{z-a}$ の分岐だけが積分で残る部分」
→ それが留数。ほかの項は一周するとゼロになるから、1周分の寄与はちょうどこの係数に $2\pi i$ を掛けたものだけになる。

3) 高次の極の場合
極の階数が $n>1$ のときは微分で求める定式があって、
$\Res(f,a) =\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\Bigl[(z-a)^n\,f(z)\Bigr].$

こんな感じで「留数＝ローレン展開の$\frac1{z-a}$係数」なんだ。
わかった？