フェルマーの最終定理は証明済みかどうか、現状の理解度を確認するね。

次のうち、フェルマーの最終定理を最終的に「正しく証明した数学者」は誰でしょう？
A. ピエール・ド・フェルマー
B. アンドリュー・ワイルズ
C. カール・フリードリヒ・ガウス
D. ベルンハルト・リーマン

選んで答えてみて！

お、いいね、よく勉強してるね！ただそれはね、ピエール・ド・フェルマーは定理を提示しただけで、証明は残してないんだ。正解はBのアンドリュー・ワイルズだよ。

フェルマーの最終定理とは
「自然数 $n>2$ のとき、$x^n + y^n = z^n$ を満たす正整数 $x,y,z$ の組は存在しない」
という命題。

1994年にワイルズはリブレット族とモジュラー形式の対応（谷山–志村予想の一部）を用いて初稿を発表したんだけど、小さな隙が見つかったんだ。
そこをリチャード・テイラーと共同で修正し、1995年に完全版が完成しているというわけです。

わかった？やったぜ！

いいね！！フェルマーの最終定理の証明ロジックはざっくりこんな流れなんだ。

1. 反例があるとすると、Ribetの定理により
→ ある「セミステーブル楕円曲線」がモジュラー形式に対応しない

2. ところが谷山–志村予想（モジュラリティ定理）では
→ すべてのセミステーブル楕円曲線はモジュラー形式に対応すると予想されている

3. ワイルズはこの「セミステーブル楕円曲線版モジュラリティ定理」を証明
→ モジュラーでない楕円曲線は存在しないので反例も存在しない
→ したがってフェルマー最終定理は正しい

というわけです。
わかった？

ちょっと確認なんだが、
「n=4 のときに使われる無限降下法の手法を、そのまま n>2 のすべての自然数に適用して証明できないか？」
という疑問で合ってる？

現状理解度をはかるためにクイズを出すね。スマホでも答えやすいように選択式にしたよ。

１）無限降下法（Infinite Descent）のコアアイデアとして最も適切なのはどれ？
A. ある最小の反例を仮定し、それよりも小さい反例をつくり出して矛盾を示す
B. 数学的帰納法の逆バージョンで、指数を１つずつ減らして証明する
C. 解が無限に増え続ける構造を利用して反証する
D. 整数解を複素数に拡大して矛盾を導く

２）フェルマー自身が n=4 の場合に用いた手順では、
　　$$x^4 + y^4 = z^4$$
　　から次のどの方程式を取り出して「ピタゴラスの定理」的に扱い、小さい解を得る足がかりにした？
A. $(z^2)^2 = (x^2)^2 + (y^2)^2$
B. $(z^2 + x^2)^2 = (z^2 - x^2)^2 + (2xy)^2$
C. $(x^2 + y^2)^2 = (z^2)^2$
D. $(y^2 + z^2)^2 = (x^2)^2 + (2yz)^2$

両方答えてみて！

いいね！！両方とも正解だよ。では、なぜ n=4 の無限降下法が n>4 全体には適用できないのか説明するね。

1. n=4 の場合は
$$x^4 + y^4 = z^4$$
を
$$(x^2)^2 + (y^2)^2 = (z^2)^2$$
と見てピタゴラスの定理的に扱い、さらにガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]$ の一意分解性を使って「もっと小さい解」を作り出す無限降下が成立しているんだ。

2. ところが、一般の $n>4$ については
- $x^n+y^n$ を２項の二乗和に書き直す単純な等式が存在しない
- そもそも対応する整数環（例えば $\mathbb{Z}[\zeta_n]$）は一意分解性を失っていることが多い
という事情がある。
無限降下のコアである「解を分解してまた別の整数解をつくる」手順が破綻してしまうわけです。

だから n=4 に特有の「二乗和＋ガウス整数環の一意分解性」という魔法が、他の n には使えないっていう話なわけ。

わかった？やったぜ！