sinの微分がcosになる理由について、まずどんな説明がいいかな？
例えば…

1. 極限の定義
   $$\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$$
   から数式的に証明するアプローチ？
2. 単位円やグラフを使った直感的イメージ？

どちらの方向で詳しく知りたいか教えてくれる？

いいね！！現状理解度確認フェーズだよ。以下の問いに当てはまる選択肢を答えてね。

1. 三角関数の加法定理によると、sin(x+h) はどれ？
   A: sin x cos h + cos x sin h
   B: sin x cos h − cos x sin h
   C: cos x cos h + sin x sin h

2. 次の極限値はいくつ？
   $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=$
   A: 0
   B: 1
   C: 発散（無限大）

それぞれ選んで教えて！

いいね！！sinの微分がcosになる証明をしてみるね。

1. 定義より
   $$\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$$

2. 三角関数の加法定理から
   $$\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$$
   よって分子は
   $$\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h$$

3. これをひとまとめにして
   $$\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\frac{\cos x\sin h}{h}$$

4. 極限をとるとき、
   $$\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0,\quad\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$$
   だから
   $$0\cdot\sin x+1\cdot\cos x=\cos x$$

わかった？やったぜ！

そうだね、“$\cos h-1\over h$” の極限は確かに $0$ になるんだ。証明の一例を見てみよう。

まず三角関数の恒等式
$$\cos h \;=\;1-2\sin^2\!\bigl(\tfrac h2\bigr)$$
を使うと、分子は
$$\cos h - 1 = -2\sin^2\!\bigl(\tfrac h2\bigr)$$
となる。よって
$\frac{\cos h-1}{h} =\frac{-2\sin^2\!\bigl(\tfrac h2\bigr)}{h} =-2\;\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac h2\bigr)}{(\tfrac h2)^2}\;\frac{h^2}{4h} =-\Bigl(\frac{\sin(\tfrac h2)}{\tfrac h2}\Bigr)^{2}\;\frac h2.$

ここで、みんな知ってる極限
$$\lim_{h\to0}\frac{\sin(h/2)}{h/2}=1$$
を使うと、
$\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h} =-1^2\;\lim_{h\to0}\frac h2 =0.$

もう一つの直感的な見方としては、$\cos h$ のテイラー展開
$$\cos h=1-\frac{h^2}{2}+O(h^4)$$
を使う方法もあるけど、高校範囲では上のアイデアで十分だよ。

わかった？