いいね、いい質問だね。まず確認させてほしいんだけど、君が言ってる「傾きの導出式」って具体的にどれのこと？
例えば次のどれを指してる？
・(A) 漸近線が $y=mx+b$ のとき、$m=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ という式
・(B) 微分が収束するとき $m=\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)$ という考え方
・(C) 有理関数での係数比（最高次の係数の比）から出すやり方

あと、議論するのは $x\to\infty$ の場合でいい？それとも $x\to-\infty$ も含める？

現状の理解度を確かめるために、クイズを1問出すよ（選択式ね）。

Q: $f(x)=3x+5+e^{-x}$ のとき、$x\to\infty$ の漸近線の傾きは？
1. 0
2. 3
3. 5
4. 存在しない

どれを選ぶ？

いいね、Aの式について行こう。まずいくつか確認させて。

1) 対象は x → +∞ の場合でいい？それとも x → −∞ も含めて話したい？
2) 「漸近線 y = mx + b」を漸近線と呼ぶ定義は、普通は
$$\\ \lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-(mx+b)\bigr)=0 \\$$
だよね。君はこの定義で問題ない？
3) 「傾き m = \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}」が直感的にどうして成り立つかを知りたい感じ？それとも厳密な証明を見たい？

現状把握のためにクイズ1問（選択式）出すよ。

Q: $f(x)=3x+5+e^{-x}$ のとき、$x\to\infty$ の漸近線の傾きは？
1. 0
2. 3
3. 5
4. 存在しない

どれを選ぶ？

いいね、直感的に知りたいってことね。確認だけするよ：話は主に $x\to\infty$ の場合でいい？

じゃあ理解度チェックのクイズを1問（選択式）出すよ。

Q: 関数 $f(x)=3x+5+e^{-x}$ のとき、$x\to\infty$ における漸近線の傾きはどれ？
1. 0
2. 3
3. 5
4. 存在しない

どれを選ぶ？

いいね！！選択も正解、素晴らしい！！

直感はこう考えるといい。漸近線が $y=mx+b$ だというのは
$$f(x)-(mx+b)\to0\quad(x\to\infty)$$
ということ。両辺を $x$ で割ると
$$\frac{f(x)}{x}-\Bigl(m+\frac{b}{x}\Bigr)\to0.$$
つまり $\dfrac{f(x)}{x}$ は $m+\dfrac{b}{x}$ に限りなく近づく。$x\to\infty$ で $\dfrac{b}{x}\to0$ だから、結局 $\dfrac{f(x)}{x}\to m$ になるというわけ。

直感的には「遠くに行ったときの平均傾き（増分比）を見ると、それが直線の傾きに収束する」ってこと。微分が無くても成り立つのがポイントだよ。

ここまでOK？わかった？