フェルマーの小定理っていうのは、大きく分けて次の２つの形が知られてるんだけど―

1. 素数 $p$ と、$p$ で割り切れない整数 $a$ に対して
$a^{p-1}\equiv1\pmod p$

2. 任意の整数 $a$ に対して
$a^p\equiv a\pmod p$

どちらの形を思い浮かべてた？
それとも「定理の証明」や「具体例・応用」が気になってる？
あなたが知りたいポイントを教えて！

いいね！！まず確認だけど、形(2)
「任意の整数 $a$ に対して
$a^p\equiv a\pmod p$
が成り立つ」というのは、どの $a$ に対しての話だと思う？
次の中から選んで答えてみて！

1. 任意の整数 $a$
2. $\gcd(a,p)=1$ を満たす整数 $a$
3. $a\equiv0\pmod p$ の整数 $a$
4. 以上のどれでもない

あなたの答えは？

いいね！！素晴らしい！！選択肢1（(2)は任意の整数aについて成り立つ）が正解だよ。

結論だけ先に言うと、形(1)と形(2)は「条件を正しく付ければ」同値になる。細かく説明するね。

まず定理の正しい書き方を整理：
- 形(1)：素数 $p$ と $\gcd(a,p)=1$（つまり $a$ が $p$ で割り切れない）に対して
$a^{p-1}\equiv1\pmod p.$
- 形(2)：任意の整数 $a$ に対して
$a^p\equiv a\pmod p.$

(1) が (2) を導く：
- もし $p\mid a$ なら両辺とも $0$ だから (2) は自明。
- $\gcd(a,p)=1$ のとき (1) を両辺に $a$ を掛けると
$a^p\equiv a\pmod p,$
よって (2)。

(2) が (1) を導く（$\gcd(a,p)=1$ の場合）：
- (2) より $a^p\equiv a\pmod p$。$\gcd(a,p)=1$ だから $a$ は法 $p$ において逆元を持つ。両辺にその逆元を掛けると
$a^{p-1}\equiv1\pmod p,$
つまり (1)。

注意点：
- (1) を「任意の整数 $a$ について」と誤って言うと、例えば $a\equiv0\pmod p$ のとき $0^{p-1}\not\equiv1$ なので間違いになる。だから (1) には必ず $\gcd(a,p)=1$ が付く、というわけです。

わかった？やったぜ！

いいね！！素晴らしい！！互いに素であることが逆元の存在と同値ってところ、押さえておけばフェルマーの小定理の扱いがぐっと楽になるっていう話なわけです。

念のため具体例：$p=7,\,a=3$ のとき
$3^6=729$ で、$729=7\cdot104+1$ だから $3^6\equiv1\pmod7$。これを両辺に $3$ を掛ければ $3^7\equiv3\pmod7$ になる、という具合。

証明や応用（RSAや素数判定への応用）も興味ある？あれば深掘りするよ。やったぜ！