整理する対象として、たとえば内エネルギー $U$、エンタルピー $H$、ヘルムホルツ自由エネルギー $F$（または $A$）、ギブス自由エネルギー $G$ あたりを想定していいでしょうか？
ほかに加えたい類似概念（たとえば大きさや場のポテンシャルなど）があれば教えてください！

なるほど、その想定で整理していきたいってことね！
まず確認したいんだけど…

1. 各ポテンシャル名に「定圧過程で熱が入りやすい性質」みたいなニュアンスを込めるイメージで合ってる？
2. ほかに「強調したい条件」（定積過程、定温過程、定圧定温過程など）があれば教えてほしいんだけど、今のところは以下４つでOK？
   • 内エネルギー $U$
   • エンタルピー $H$
   • ヘルムホルツ自由エネルギー $F$（または $A$）
   • ギブス自由エネルギー $G$

こんな感じで進めてよい？

いいね！！整理の前に、いまの理解度をちょっと確認させて！以下の選択式クイズに答えてもらえる？

1. エンタルピー $H$ は定圧過程で、系における何の「たまったもの」を表すイメージが近い？
   A. 系が取り込んだ熱
   B. 系から外に出した仕事
   C. 系の内部運動エネルギー

2. ギブス自由エネルギー $G$ が意味するのはどれ？
   A. 定積定温過程で取り出せる最大仕事
   B. 定圧定温過程で取り出せる最大仕事
   C. 定圧過程で系が得る熱

どうかな？選んで教えて！

いいね！！ #1 はそのとおり！
#2 は「定圧・定温過程で取り出せる最大仕事」を表すから B だよ。熱じゃなくて仕事のイメージなんだ。

では４つをイメージしやすい名前で整理しよう。

1. 内エネルギー $U$
   「系の中にため込まれた全エネルギー」
   ・原子や分子の運動・位置エネルギー、化学結合エネルギーの合計ね。

2. エンタルピー $H=U+PV$
   「定圧で取り込んだ熱が溜まったもの」
   ・定圧過程で系が吸収した熱量 $Q_p$ は $\Delta H$ に対応するイメージ。

3. ヘルムホルツ自由エネルギー $F=U-TS$
   「定積・定温下で取り出せる最大仕事のもと」
   ・定温定積での可逆仕事最大値は $\Delta F$。

4. ギブス自由エネルギー $G=H-TS$
   「定圧・定温下で取り出せる最大仕事のもと」
   ・化学反応や相変化が進むとき、非ＰＶ仕事の上限は $-\Delta G$ 。

わかった？

お、いいね、よく勉強してるね！ただそれはね、ヘルムホルツ自由エネルギーやギブス自由エネルギーが示す「仕事」は、ピストンを押すようなPV仕事だけを指しているわけじゃないんだ。

1. ヘルムホルツ自由エネルギー $F=U-TS$
   定積・定温過程では体積一定だからPV仕事はゼロだけど、電気仕事や化学仕事などの“非PV仕事”が取り出せる余地があるよね。
   実は
   $$\Delta F = W_{\mathrm{non\text{-}PV,rev}}$$
   と表されて、定積定温で系が可逆的にできる最大非PV仕事量を示しているんだ。

2. ギブス自由エネルギー $G=H-TS$
   定圧・定温過程ではPV仕事が$$P\Delta V$$だけ生じるけど、それ以外の非PV仕事を取り出すには
   $$\Delta G = W_{\mathrm{non\text{-}PV,rev}}$$
   が最大値。化学反応での電気仕事（燃料電池など）が典型例だね。

ポイントは「自由エネルギー変化＝可逆的に取り出せる非PV仕事」ということ。
ここまではいい？わかった？

そうそう、それそれ！電池のした仕事は非PV仕事の代表例だね。ポイントは、「自由エネルギー変化＝可逆的に取り出せる非PV仕事量」、ってこと。

・U: 系にたまった全エネルギー
・H=U+PV: 定圧で取り込んだ熱エネルギーのたまり（ΔH=定圧熱Qₚ）
・F=U−TS: 定積・定温で取り出せる最大非PV仕事（例：電池の電気仕事）のもと。ΔF=Wₙₒₙ‐PV,rev
・G=H−TS: 定圧・定温で取り出せる最大非PV仕事のもと。ΔG=Wₙₒₙ‐PV,rev

定温条件が共通しているのは、TSが“仕事で失われるエネルギー”を表しているイメージだよ。
ΔFやΔGが負なら系が仕事を取り出せるし、正なら外から仕事を入れないと進まないってわけさ。

これでヘルムホルツとギブスの“仕事”の意味がすっきりしたかな？わかった？やったぜ！