いいね、いい質問だね！まず確認なんだけど、聞きたいのは次のどっちかな？

1) 「どちらの単位を使っても計算上問題ないか（J/gK と J/kgK の互換性）」を知りたいのか。
2) それとも「どちらが公式に正しい（標準的）」か、あるいは「高校の試験や教科書ではどっちを使うべきか」を知りたいのか。

あと、君が扱っている場面（高校の問題、実験データ、物理のレポート、化学の計算など）も教えてくれると助かる。

いい質問だね。まず理解度を確認するよ（現状理解度確認フェーズ）。

問題（選択式）：国際単位系（SI）で「質量比熱（specific heat）」の標準的な単位はどれでしょう？
A: J/(kg·K)
B: J/(g·K)
C: J/(mol·K)
D: J·K/kg

どれを選ぶ？

いいね！！A 正解だよ。国際単位系（SI）で比熱（質量比熱、specific heat）の標準的な単位は J/(kg·K) になるわけです。

J/(g·K) も実務や教科書でよく使われるけど、SI単位ではない点に注意。単位変換は簡単で、
$1\ \mathrm{J/(g\cdot K)}=1000\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$
だから例えば水の比熱 $4.18\ \mathrm{J/(g\cdot K)}$ は $4180\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ になる。

なお J/(mol·K) は「モルあたりの熱容量（モル比熱）」で別の量。選択肢Dは単位の書き方として間違い（通常は分母で kg·K を表す）。

ここまではいい？わかった？やったぜ！続きを聞くなら単位変換の問題出すよ。