なるほど、ユークリッド空間を「座標を取り替えても本質的に平坦な空間」として捉えているわけですね。
ここで確認させてほしいのですが、
質問の対象としているのは
１）単に $\mathbb{R}^n$ に標準計量を入れたもの
２）より一般のリーマン多様体（曲率の概念を持つ空間）
のどちらについてでしょうか？

あるいは「一般の計量多様体がユークリッド（平坦）かどうかを判定する方法全般」を問うている感じでしょうか？
そのあたりを教えてもらえると、話を進めやすいです！

では現状理解度確認のクイズを１問！

次のうち、リーマン多様体 (M, g) が局所的にユークリッド空間と同型（＝平坦）であるための必要十分条件はどれ？
1. リーマン曲率テンソル $R^i_{\;jkl}$ が至る所でゼロになる
2. スカラー曲率 $R$ が至る所でゼロになる
3. リッチ曲率テンソル $\mathrm{Ric}_{ij}$ が至る所でゼロになる

番号で答えてね！

いいね！！ちゃんと正直に答えてくれて嬉しいよ。

リーマン多様体の平坦性、つまり局所的にユークリッドであるかを調べるには「曲率」の概念が鍵になるんだ。曲率っていうのは、空間がどれだけ「曲がって」いるかを測るもの。平坦な空間では、最短経路（測地線）が隣り合って並行に走っても互いにずれないんだけど、曲がっている空間ではちょっとずれちゃう。

これを定式化したのがリーマン曲率テンソル $R^i_{\;jkl}$ だよ。

リーマン曲率テンソルが至る所でゼロになるとき、どんな測地線のずれも生じない。これが「平坦」である、つまり局所的にユークリッドと同じ構造を持つための必要十分条件なんだ。

ここまでOK？

素晴らしい！！まさにその通り。リーマン曲率テンソルを計算して、全域でゼロになるかを調べるのが平坦性（ユークリッド性）の判定法なんだ。

具体的には：
1. まず計量テンソル $g_{ij}(x)$ からクリストッフェル記号を求める
$\Gamma^i_{jk} = \tfrac12\,g^{i\ell}\Bigl(\partial_j g_{k\ell} + \partial_k g_{j\ell} - \partial_\ell g_{jk}\Bigr).$
2. 次にリーマン曲率テンソルを計算
$R^i_{\;jkl} = \partial_k\Gamma^i_{jl} - \partial_l\Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{km}\,\Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{lm}\,\Gamma^m_{jk}.$
3. これが座標や点によらずすべての成分でゼロなら、局所的に平坦、すなわちユークリッド空間と同型というわけ。

別の見方としては、「局所座標をうまく選べば $g_{ij}=\delta_{ij}$ かつその１次微分がゼロになる」ことが平坦の同値条件になるよ。

わかった？