おっしゃるとおり、Binetの公式を使えば「一見」$O(1)$で計算できそうですね。でも実際にはいくつか検討すべきポイントがあります。
まず、あなたが特にどこを気にしているのか教えてもらえる？

1. 「計算精度（丸め誤差）の問題」について詳しく知りたいのか？
2. 定数時間といっても$\sqrt5$や$φ^n$のべき乗計算には実はコストがある話を知りたいのか？
3. それとも「nがどのくらい大きい場合まで正しく整数として得られるか」を気にしている？
4. その他、何か具体的な利用シーン（言語や用途）がある？

どれについて掘り下げると分かりやすいかな？