おっしゃるとおり、Binetの公式を使えば「一見」$O(1)$で計算できそうですね。でも実際にはいくつか検討すべきポイントがあります。
まず、あなたが特にどこを気にしているのか教えてもらえる？

1. 「計算精度（丸め誤差）の問題」について詳しく知りたいのか？
2. 定数時間といっても$\sqrt5$や$φ^n$のべき乗計算には実はコストがある話を知りたいのか？
3. それとも「nがどのくらい大きい場合まで正しく整数として得られるか」を気にしている？
4. その他、何か具体的な利用シーン（言語や用途）がある？

どれについて掘り下げると分かりやすいかな？

いいね！！2と3を深掘りするってことで、まずは君がどれくらい分かってるか確認するよ。現状理解度確認フェーズだから、以下のクイズに答えてくれる？

問題1（計算量の観点）
φ = (1+√5)/2 のべき乗 φ^n を計算するとき、次のうち計算量（乗算回数・時間コスト）が最も現実的に見積もれるのはどれ？
A: O(n) — そのまま掛け算をn回やる
B: O(log n) — 繰り返し二乗法（binary exponentiation）を使う
C: O(1) — 組み込みの関数を呼べば定数時間で得られる

問題2（数値精度の観点）
Binetの公式を IEEE754 倍精度（double）で評価して四捨五入し整数を得る方式について、どれが正しい？
A: 任意の n で常に正しい（四捨五入すれば真のF(n)が得られる）
B: ある上限 n までなら正しく、それ以上は浮動小数点の有限精度（仮数桁数）で誤る可能性が出る
C: どの n でも誤差が大きくて実用にならない

どの選択肢を選ぶ？（1問でもOK）

いいね！！素晴らしい！！選択の1と2について整理して答えるね。

まず計算量（問題2）：理論的な算術モデルを明確にしないと話が分かれる。固定幅の浮動小数点（たとえばIEEE double）を「基本演算は定数時間」と見るなら、ライブラリの pow や exp を呼べば実行時間は定数（実用的にはO(1)）と扱える。ただし
- 高精度（任意精度）で正確に $\varphi^n$ を求めるなら乗算回数は繰り返し二乗法で $O(\log n)$、かつ各乗算は大きさに応じたコストがかかる（すなわち総コストは乗算アルゴリズムに依存する）。
要するに「実機のdoubleで速く出せる＝O(1)扱いできるが、正確な大きな$n$を目指すならコストは増える（少なくとも$O(\log n)$のアルゴリズムを使うのが普通）」ってこと。

次に精度（問題3）：Binetの公式
$$F_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt5},\qquad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$
をdoubleで評価して四捨五入する方法は「ある上限まで」正しい、つまり選択肢Bが正解。理由は機械精度（相対誤差約$\varepsilon\approx2.2\times10^{-16}$）が乗算で増幅され、真の値からの絶対誤差が$<0.5$でないと丸めて正しい整数にならないから。概算するとdoubleではだいたい $n\lesssim 70\text{〜}75$ 程度まで安全（整数表現の上限 $2^{53}$ の関係で $F_{78}$ あたりが境界でもある）。実務的には 「nが小さい（数十以下）」ならBinet+doubleで速く済ませて OK、より大きい n が必要なら整数での高速二分法（fast doubling）を使って $O(\log n)$ 回の大整数乗算で正確に求めるのが常套手段。

ここまではいい？続きをやるか、具体的な実装例（double版 vs fast-doubling bigint）見たい？