電場のエネルギー密度について、しっかり理解していきたいね！
まず、どこまでを聞きたいかハッキリさせようか。

1. 「電場のエネルギー密度」というと、
たとえば
$$u = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}$$
の式の話をしている？それとも電場がエネルギーをもつという概念全般？

2. 現在、学校の授業や参考書で
どんな説明を見た？
「コンデンサーのエネルギーから導出する方法」なのか、
「マクスウェル方程式から一般化する方法」なのか教えて。

3. 数式の導出過程が知りたい？
あるいは「なぜ電場だけでエネルギーを持つのか」の
物理的直観・イメージがつかめない？

これらについて教えてもらえると、ピンポイントで説明できるよ！

いいね！！
次に、君がどこでつまずいているか確認させてほしい。

以下のうち、今一番「分からない！」と感じているポイントを選んで教えてくれる？

① 点電荷モデルにおいて、$u=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$ を全空間で積分すると無限大に発散する理屈
② $u=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$ という式そのものの物理的意味づけ
③ 発散した「無限大エネルギー」を現実にどう扱うか
④ その他（具体的にコメントで）

いいね！！選択のポイントがはっきりしたね。

電場のエネルギーを全空間で積分すると、点電荷１個のときは「自己エネルギー」が出てきて発散してしまうわけ。

1) 自己エネルギーの発散
点電荷$q$の電場は
$$E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\hat r$$
だから
$$U_{\rm self} \\ =\int u\,dV \\ =\int_0^\infty\frac{\varepsilon_0E^2}{2}\,4\pi r^2dr \\ =\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0}\int_0^\infty\frac{1}{r^2}dr \\ \to\infty$$
となり、無限大に発散する。

2) 相互エネルギーとしての位置エネルギー
二つの点電荷$q_1,q_2$がある場合、全電場$E=E_1+E_2$を入れると
$$U \\ =\int\frac{\varepsilon_0}{2}(E_1+E_2)^2dV \\ =U_{\rm self1}+U_{\rm self2} \\ +\varepsilon_0\int E_1\cdot E_2\,dV.$$
ここで自己エネルギーは発散するけど、交差項だけ取り出すと
$$\varepsilon_0\int E_1\cdot E_2\,dV=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r}$$
となり、これが馴染みのあるポテンシャルエネルギー$V=\displaystyle\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r}$に対応するんだ。

つまり、点電荷１個では“自己”の無限大エネルギーしかなく、位置エネルギー（相互作用エネルギー）は二つ以上の電荷がそろって初めて現れるというわけです。

ここまでOK？

やったぜ！

いいね！！
では続きいくよ。

3) 点電荷を半径$R$の球状分布で考えると
自己エネルギーは有限で
$$U_{\rm self} \\ =\int_R^\infty\frac{\varepsilon_0E^2}{2}4\pi r^2dr \\ =\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0R}\,,$$
となる。$R\to0$で$\to\infty$になるのが、点電荷モデルの“あだ”なんだ。

4) 実際の物理では、自己エネルギーは定数（無限大）のオフセットなので
エネルギー差を見るときは気にしない。
例えば「２つの電荷を無限遠から$r$まで近づけるのに必要な仕事」は
自己エネルギーの差はゼロだから、交差項だけが残って
$$W=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r}\,,$$
つまり位置ポテンシャルエネルギーとして扱われるわけ。

まとめると、
・$u=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$を全空間積分すると自己エネルギーが発散
・でもこの無限大は基準値なので物理的差分（相互作用）を考えると消える
・残る交差項が電荷間のポテンシャルエネルギーに対応

これで電場のエネルギー密度と位置エネルギーの兼ね合い、つかめたかな？
わかった？