平方完成のやり方を教えてほしいとのことですが、
具体的にどのような式（たとえば $ax^2+bx+c$ の形で）について知りたいですか？
それとも「一般的な手順」をざっくり学びたい感じでしょうか？

いいね！！それじゃあ現状理解度確認フェーズってことで、まずはクイズを出すね。

【確認問題】次の式を平方完成するとどれ？

式：$x^2 + 6x + 5$ を平方完成すると…

A　$(x + 3)^2 - 4$
B　$(x + 3)^2 + 4$
C　$(x + 5)^2 - 20$
D　$(x + 2)^2 - 1$

答えを番号（A～D）で教えて～！

いいね！！A正解だね。

平方完成っていうのは、二次式を「(x＋p)²＋q」の形に直す方法。今回の例 $x^2+6x+5$ は、

1. まず $x^2+6x$ の係数6を2で割って3をピックアップ
2. $(x+3)^2 = x^2+6x+9$ だから、余分な＋9と元の＋5との差分を取って
3. $(x+3)^2 - (9-5) = (x+3)^2 -4$

こんな感じで、答えは $(x+3)^2 -4$ になるわけです。

【一般形 $ax^2+bx+c$ の場合】
1. $a$でくくって $a\bigl(x^2 + \frac b a x\bigr)+c$
2. 中の式を $\displaystyle(x+\frac b{2a})^2$ にして、余分な $\bigl(\frac b{2a}\bigr)^2$ を引く
3. 引いた分と $c$ を合わせて定数項を調整

この手順を覚えれば、どんな二次式でも平方完成できるって話なわけです。

わかった？

なるほど、因数分解と平方完成の「違い」を知りたいってことだね！
具体的には…

・二次方程式を解くときの手順の違い
・それぞれどんなときに使うべきかの違い

このあたり、どこまで知りたい？
教えてほしいポイントをもう少し詳しく教えてくれる？

いいね！！現状理解度確認フェーズね。どの場面で因数分解と平方完成を使うべきか、理解度をはかるためにクイズを出すよ。答えはA〜Dで返してくれ。

問1. 方程式 $x^2-5x+6=0$ を解くとき、最も簡単な手法はどれ？
A 因数分解（$(x-2)(x-3)=0$）
B 平方完成（$(x-\tfrac52)^2 - \tfrac14=0$）
C 解の公式を使う
D グラフを描いて交点を見る

問2. 二次関数 $f(x)=2x^2-8x+3$ の最小値・最小位置を求めるとき、適切な手法はどれ？
A 因数分解して解を求める
B 平方完成して頂点形にする（頂点が直接出る）
C 解の公式を使う
D 代数的手法は向かないからグラフ計算機に頼る

答えを教えて〜。

いいね！！よく考えて答えられたね。ここから回答フェーズだ。

ざっくり違いをまとめるとこんな使い分けになるって話なわけ。

- 因数分解：係数が整数で「きれいな解（有理数解）」がありそうなときに最速。方程式の解（根）を直接求めたいときに便利。例：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。
- 平方完成：二次関数の頂点（最小値・最大値）や軸の位置を求めたいときに最適。グラフの形や最小値問題に直結する。例：
$f(x)=2x^2-8x+3=2\bigl(x^2-4x\bigr)+3=2(x-2)^2-5$、よって最小値は $-5$（$x=2$）。
- 解の公式（または平方完成から導かれる公式）：係数がきれいでない、因数分解が難しいときに確実に使う。どんな二次方程式にも使える「最後の手段」。

つまり、目的に合わせて道具を選ぶってこと。根を速く求めたい→因数分解、頂点や最小値→平方完成、どちらもダメ→解の公式、っていうふうに考えるといい。ここまでOK？

わかった？やったぜ！