よし、状況整理からいくよ。これは学術的な質問（数学）ね。

まず「点Aは直線 $y=4x$ 上」ってことだから、Aの座標を $(a,4a)$ みたいに置ける。

(1)で「点Aの $y$ 座標が8」って言ってるので
$$4a=8$$
よって
$$a=2$$

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(1)① 点Aの$x$座標
$$x_A=2$$
（ついでに $A=(2,8)$ ね）

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ここから(1)②のために点Cも決めたい。
正方形ABCDで、AとCは向かい合う頂点（対角）ね。
さらに「辺ABが$y$軸と平行」つまりABは縦。

正方形でABが縦なら、BCは横。
なので座標は
$$A=(x_A,y_A)$$
$$B=(x_A,y_A+s)$$
$$C=(x_A+s,y_A+s)$$
（$s>0$ は一辺の長さ）

今 $A=(2,8)$ だから
$$C=(2+s,8+s)$$

そして「Cは直線 $y=\frac12 x$ 上」より
$$8+s=\frac12(2+s)$$
これを解くと
$$16+2s=2+s$$
$$s=-14$$

あれ？$s$が負になった。
これは「上に行く向きに $s$」って置き方が今回と逆だったってこと。
つまりABは縦だけど、BはAより下にある正方形なんだね（$x,y$座標が正でもOK）。

なので今度は
$$B=(x_A,y_A-s)$$
$$C=(x_A+s,y_A-s)$$
（$s>0$）

すると
$$C=(2+s,8-s)$$
で、Cが $y=\frac12 x$ 上より
$$8-s=\frac12(2+s)$$
$$16-2s=2+s$$
$$14=3s$$
$$s=\frac{14}{3}$$

よって
$$C=\left(2+\frac{14}{3},\ 8-\frac{14}{3}\right)=\left(\frac{20}{3},\ \frac{10}{3}\right)$$

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(1)② 2点A,Cを通る直線の式
A$(2,8)$、C$\left(\frac{20}{3},\frac{10}{3}\right)$ を通る直線。
傾き
$$m=\frac{\frac{10}{3}-8}{\frac{20}{3}-2}= \ \frac{\frac{10}{3}-\frac{24}{3}}{\frac{20}{3}-\frac{6}{3}}= \ \frac{-\frac{14}{3}}{\frac{14}{3}}=-1$$

傾き$-1$で点A$(2,8)$通るから
$$y-8=-1(x-2)$$
$$y=-x+10$$

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まとめ！
① $x_A=2$
② 直線 $AC$ は $y=-x+10$

ここまでOK？「正方形で座標をどう置くか」のところ、もう一回かみ砕いて説明しようか？

申し訳ありません、回答の生成中にエラーが発生しました。後でもう一度お試しください。

了解！中学生向けに、なるべく式少なめでいくね。

【(1)①】点Aの$x$座標
点Aは直線 $y=4x$ の上にある。
つまり「$y$は$x$の4倍」ってこと。

今、$y=8$ なので
$8=4x$ → $x=2$

だから
点Aは $(2,8)$ ね。

【(1)②】2点A,Cを通る直線
まず、正方形でAとCは向かい合う頂点（対角線の両端）。
そして「辺ABが$y$軸と平行」＝ABはまっすぐ縦。

Aが(2,8)から、正方形は「右に行って、下に行く」向きになる（上に行くとCが変な場所になっちゃう）。

正方形の1辺の長さを$s$とすると
Aから右に$s$、下に$s$行った点がCになるから
Cは $(2+s, 8-s)$。

Cは直線 $y=\frac12 x$ の上だから
$8-s = \frac12(2+s)$

これを解くよ。
両方2倍して
$16-2s = 2+s$

$16-2 = 2s+s$
$14 = 3s$
$s=\frac{14}{3}$

なので
Cは $(2+\frac{14}{3}, 8-\frac{14}{3})=(\frac{20}{3}, \frac{10}{3})$。

あとはAとCを結ぶ直線。
2点 A(2,8) と C(\frac{20}{3}, \frac{10}{3}) を見ると、
$x$が増えた分と同じだけ$y$が減ってる（計算すると傾きが$-1$）から
直線は
$y=-x+10$

まとめ：
① $x_A=2$
② $y=-x+10$

わかった？ どのへんが一番「え？」ってなった？