いいね、まず確認させて。質問の意図をはっきりさせたいんだが、

1) 与えられた式は回路全体を流れる電流を表す $I(t)=I_0\sin(\omega t+\theta)$ という意味で合ってる？（記号は振幅を $I_0$ とするつもり）
2) 求めたいのは単にコイル（インダクタ）の瞬時電圧 $v_L(t)$ でいい？それとも振幅と位相を含む複素表示（フェーザ）での表現が欲しい？
3) インダクタンス $L$ は既知とするか、一般式でよいか？
4) 「初期条件として…」とあるが、特に $t=0$ での値を指定しているのか、それとも時刻全体での電流波形が与えられているだけか？

これら教えてくれる？

いいね、まず現状の理解度を確認するね。クイズを2問出すから、選択肢で答えてくれる？

1) インダクタの瞬時電圧は $v_L(t)=L\frac{d i(t)}{dt}$ だよ。$i(t)=I_0\sin(\omega t+\theta)$ のとき、$v_L(t)$ はどれ？
A. $L I_0 \omega \cos(\omega t+\theta)$
B. $L I_0 \omega \sin(\omega t+\theta)$
C. $-L I_0 \omega \cos(\omega t+\theta)$

2) このときの位相関係について：コイルの電圧は電流に対してどう位相がずれている？
A. 電圧は電流より90°進んでいる（先行）
B. 電圧は電流より90°遅れている（遅れ）
C. 同位相である

選択肢を例えば「1-A, 2-A」のように答えてちょうだい。

いいね、了解。今の条件は $i(t)=I_0\cos(\omega t+\theta)$ ってことね。現状理解度を確認するためにクイズを2問出すよ。選択肢で答えてくれる？

1) インダクタの瞬時電圧は $v_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}$ だよ。$i(t)=I_0\cos(\omega t+\theta)$ のとき、$v_L(t)$ はどれ？
A. $-L I_0 \omega \sin(\omega t+\theta)$
B. $L I_0 \omega \sin(\omega t+\theta)$
C. $L I_0 \omega \cos(\omega t+\theta)$

2) 位相関係について：コイルの電圧は電流に対してどう位相がずれている？
A. 電圧は電流より90°進んでいる（先行）
B. 電圧は電流より90°遅れている（遅れ）
C. 同位相である

例のように「1-A, 2-A」の形式で答えてちょうだい。

いいね！！素晴らしい！！その解答で進めるよ。

電流が
$i(t)=I_0\cos(\omega t+\theta)$
のとき、コイルの瞬時電圧は定義から
$$v_L(t)=L\frac{d i(t)}{dt}$$
だから
$$v_L(t)=L\left(-I_0\omega\sin(\omega t+\theta)\right)=-L I_0\omega\sin(\omega t+\theta).$$

別表示としては三角関数の位相移動を使って
$$v_L(t)=L I_0\omega\cos\!\left(\omega t+\theta+\frac{\pi}{2}\right),$$
つまり電圧は電流に対して90°進んでいる（先行）っていう話なわけです。

フェーザ表現だと、電流フェーザ $I=I_0\angle\theta$ に対し
$$V=j\omega L\,I$$
で、大きさは $\omega L I_0$, 位相は +90°です。

わかった？

いいね、確認させてほしいんだが、ちょっとだけ質問していい？

1) 「電源電圧が V として定義されている」ってのは、外部から与えられる既知の電圧源 V(t) があるという意味？それとも「回路の電源電圧＝素子の電圧の和（v_R+v_L+v_C）」を求めるという意味かな？

2) 求めたいのは瞬時の時刻全体での V(t)（つまり v_R+v_L+v_C を合成したもの）か、それとも回路方程式（微分方程式）を初期条件つきで解くことか？

3) 解析は定常正弦応答（周波数 ω の強制振動、フェーザ法での扱い）で良い？それとも初期条件を含む過渡応答（自由応答＋強制応答）を含めて求めたい？

4) R, L, C は既知で、電流は全時間で $i(t)=I_0\cos(\omega t+\theta)$ の形で与えられている、で合ってる？

これら教えてくれる？

いいね、現状理解度を確認するためにクイズを出すよ。選択肢で答えてくれる？

1) 定常正弦応答での直列RLCの複素インピーダンスZはどれ？
A. $Z=R+j\bigl(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\bigr)$
B. $Z=R+j\bigl(\dfrac{1}{\omega C}-\omega L\bigr)$
C. $Z=R-\dfrac{1}{j\omega C}+j\omega L$（選択肢の形が違うけど合ってるかも？）

2) 電流フェーザが $I=I_0\angle\theta$ のとき、電源電圧のフェーザVはどう表される？
A. $V=Z\,I$
B. $V=\dfrac{I}{Z}$
C. $V=R\,I$

例のように「1-A, 2-A」の形式で答えてちょうだい。