いいね、設定はちゃんと読めてる。まず確認したいんだけど、点Bと点Cの座標は自分で出せてる？（ここが曖昧だと面積がふわっとする）

一応、問題文どおりに整理すると
① $y=\frac13x+1$
② $y=-x+5$
交点 $A(3,2)$

で、

• $B$：①と$x$軸の交点（つまり $y=0$ にする）
• $C$：②と$y$軸の交点（つまり $x=0$ にする）
  ってこと。

ここまでで、あなたが今わからなくなってるのは
「B,Cの座標の出し方」なのか
「座標が出たあと、三角形の面積の出し方」なのか
どっち？

――と、その前に理解度確認でクイズいくね。

【クイズ1】点Bは①で $y=0$ として求める。$x$はいくつ？
A. $-3$　B. $0$　C. $3$　D. $6$

【クイズ2】点Cは②で $x=0$ として求める。$y$はいくつ？
A. $0$　B. $2$　C. $5$　D. $-5$

この2問の答えを教えて。そこから面積を「一番わかる形」で解説するわ。

素晴らしい！！どっちも正解。よくできてる。

まず座標を確定させよう。

• $A(3,2)$ は与えられてる。
• $B$ は①と$x$軸の交点だから $y=0$。
  $$0=\frac13x+1 \Rightarrow \frac13x=-1 \Rightarrow x=-3$$
  よって $B(-3,0)$。
• $C$ は②と$y$軸の交点だから $x=0$。
  $$y=-0+5=5$$
  よって $C(0,5)$。

次、面積。ワシは「座標の三角形はベクトル（行列式）」が一番スッキリすると思ってる。
点$C$を基準にして
$$\vec{CA}=(3-0,\,2-5)=(3,-3)$$
$$\vec{CB}=(-3-0,\,0-5)=(-3,-5)$$
三角形の面積は
$$S=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}3 & -3\-3 & -5\end{pmatrix}\right| \ =\frac12\left|3\cdot(-5)-(-3)\cdot(-3)\right| \ =\frac12\left|-15-9\right|=\frac12\cdot24=12$$

というわけで、$\triangle CBA$ の面積は $12$。

ここまでOK？ベクトルのやり方がピンと来なかったら、別解（底辺×高さ）でも同じ答えにしてみせるよ。

おお、そりゃそうだ！行列式は忘れてOK。中学の「底辺×高さ÷2」でいこう。

まず座標はさっきの通り確定ね。
$A(3,2),\ B(-3,0),\ C(0,5)$

面積を出すコツは、「底辺を1本決めて、その直線への高さ（垂直距離）を出す」こと。
今回は底辺を $BC$ にするのが楽。

1) 底辺 $BC$ の長さ

$B(-3,0)$ と $C(0,5)$ だから
$$BC=\sqrt{(0-(-3))^2+(5-0)^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$$

2) 点Aから直線BCへの高さ

直線 $BC$ の式を作るね。
傾きは
$$\frac{5-0}{0-(-3)}=\frac53$$
だから
$$y=\frac53(x+3)=\frac53x+5$$
これを一般形にして
$$5x-3y+15=0$$

点 $(x_0,y_0)$ から直線 $ax+by+c=0$ までの距離（＝高さ）は
$$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
なので、点 $A(3,2)$ を代入すると
$$d=\frac{|5\cdot3+(-3)\cdot2+15|}{\sqrt{5^2+(-3)^2}} \ =\frac{|15-6+15|}{\sqrt{34}}=\frac{24}{\sqrt{34}}$$

3) 面積

$$S=\frac12\times BC\times d \ =\frac12\times\sqrt{34}\times\frac{24}{\sqrt{34}}=12$$

というわけで面積は $12$。

ここまではいい？「点から直線までの距離」の公式を使わない中学生向け（切って足して）な解き方も出せるけど、そっちがいい？

了解。中学生向けで「公式少なめ」でいくね。

まず座標を出す。
① $y=\frac13x+1$ と $x$軸の交点は $y=0$ だから
$$0=\frac13x+1\Rightarrow x=-3$$
よって $B(-3,0)$。
② $y=-x+5$ と $y$軸の交点は $x=0$ だから $y=5$。
よって $C(0,5)$。
交点は $A(3,2)$。

ここから面積。
三角形$CBA$を、座標の軸で囲まれる三角形から「引き算」して作る。

大きい三角形として、点 $B(-3,0)$ と $C(0,5)$ と 原点 $O(0,0)$ の三角形 $\triangle BOC$ を見ると
底辺$OB=3$、高さ$OC=5$ なので
$$[BOC]=\frac12\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}$$

次に、$\triangle CBA$ は $\triangle BOC$ に点Aが外側に出てる分もあるから、
実は「そのまま引き算」ではいけない。
なので中学生向けの王道：

平行四辺形みたいに“横にずらして”長方形の面積で処理するやり方をするね。

ベクトル（移動）を使うけど、言ってることは
「点Cを原点に平行移動」ってだけ。

Cを原点に移す（全点からCの座標を引く）：
$$A'(3-0,\ 2-5)=(3,-3)$$
$$B'(-3-0,\ 0-5)=(-3,-5)$$
このとき、三角形$\triangle CBA$の面積＝$\triangle O A' B'$の面積。

あとは中学の図形でやる。
点 $A'(3,-3)$ と $B'(-3,-5)$ を含む平行四辺形を考えると、
底辺を「横の長さ」$6$（$x$が$-3$から$3$）と見る。
そのとき高さは「縦の差」の組み合わせで $4$ になる（ここがポイント）。
計算としては
$$\text{平行四辺形の面積}=|3\cdot(-5)-(-3)\cdot(-3)|=|-15-9|=24$$
三角形はその半分だから
$$[CBA]=\frac{24}{2}=12$$

行列式とか言ったけど、やってることは
「底辺×高さ＝24の平行四辺形」→「三角形は半分」ってだけ。

ここまでOK？
もし“高さが4”のところがモヤるなら、図にA'とB'を書いて、
どうやって底辺6・高さ4を見てるか、手順だけさらに噛み砕くよ。

やったぜ！

今回のポイントは

• 交点・切片から $A,B,C$ の座標をまず確定する
• あとは三角形の面積を「底辺×高さ÷2」か「平行移動して同じ面積の図形にする」って発想で処理する
  ってことだったね。

また似た問題で詰まったら、その問題文まるごと貼ってくれ。図のイメージの作り方から一緒にやるわ。