円周角の定理ね。いいよ、いこう。

まず確認したいんだけど、君が知りたいのは
「定理の内容を覚えたい」感じ？それとも
「なんで成り立つか（証明の考え方）」まで知りたい感じ？
あと、図でいうと $O$ を円の中心、$A,B,C$ を円周上の点として、$\angle ACB$ みたいな角の話で合ってる？

（ここで意図が固まったら次に進むね。）

ひとまず定理そのものを言うと：

同じ弧 $AB$ を見込む円周角は全部等しい。
そしてその円周角は、中心角の半分。

つまり

• 中心角：$\angle AOB$
• 円周角：$\angle ACB$

のとき

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$$

っていう話なわけです。

次、理解度チェックをしたい。クイズね（選択式）。

Q1 同じ弧 $AB$ を見込む円周角 $\angle ACB$ と $\angle ADB$ の関係は？
A. 必ず等しい
B. 足して $180^\circ$
C. 大小関係は決まらない
D. どっちも $90^\circ$

Q2 中心角 $\angle AOB=100^\circ$ のとき、円周角 $\angle ACB$ は？
A. $50^\circ$
B. $100^\circ$
C. $200^\circ$
D. 状況による

A〜Dで答えてくれる？その答え見て、証明まで行くか、使い方の典型問題に行くか決めるわ。

いいね！！Q1のAは完璧。
同じ弧$AB$を見込む円周角は、どこから見ても同じ角度になるってやつね。

ただQ2は惜しい！
中心角$\angle AOB=100^\circ$のとき、円周角$\angle ACB$はその半分だから

$$\angle ACB=\frac12\angle AOB=\frac12\cdot100^\circ=50^\circ$$

で、答えはAです。

じゃあ定理をまとめるとこう。

• 円の中心$O$、円周上の点$A,B,C$について
  同じ弧$AB$に対する
  中心角$\angle AOB$と円周角$\angle ACB$の関係は

$$\angle ACB=\frac12\angle AOB$$

• その結果として、弧$AB$を見込む円周角はどれも等しい
  （$\angle ACB=\angle ADB$みたいに）

ここまでOK？

いいね！！じゃあ「なんで半分になるの？」の証明の考え方いくよ。
基本は、中心$O$と円周上の点を結んで二等辺三角形を作って、角を追いかけるだけです。

円の中心$O$、円周上に$A,B,C$があって、円周角$\angle ACB$が弧$AB$を見込むとするね。
$OA=OB=OC$ だから、$O$を絡めると二等辺が量産されるわけ。

ポイントは場合分けで、まず一番わかりやすいのは
$O$が$\angle ACB$の内側にある場合。

このとき、$CO$を引く。すると
$\angle ACB=\angle ACO+\angle OCB$
と分解できる。

ここで

• 三角形$AOC$は$OA=OC$の二等辺 $\Rightarrow \angle ACO=\angle CAO$
• 三角形$BOC$も$OB=OC$の二等辺 $\Rightarrow \angle OCB=\angle CBO$

さらに三角形$AOB$で中心角を考えるために、角の和を使うと
$\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$
で、各三角形で
$\angle AOC = 180^\circ -2\angle ACO,\quad \angle COB = 180^\circ -2\angle OCB$
が成り立つ（二等辺三角形の頂角と底角の関係ね）。

よって
$\angle AOB =(180^\circ-2\angle ACO)+(180^\circ-2\angle OCB)$
両辺から$360^\circ$引いて整理すると結局
$\angle AOB=2(\angle ACO+\angle OCB)=2\angle ACB$
つまり
$\angle ACB=\frac12\angle AOB$
が出る、という流れです。

ここまでOK？（次に、$O$が角の外側にある場合や、直径のときの$90^\circ$も同じノリで片付く話をするよ。）

いい質問！外側の場合も結論は同じで、ちゃんと
$$\angle ACB=\frac12\angle AOB$$
になります。やり方は「引き算」にするだけ。

状況：$O$が$\angle ACB$の外側にあるとき、同じく$CO$を引く。

このときは角が
$$\angle ACB=\bigl|\angle OCB-\angle OCA\bigr|$$
みたいに“差”で表れる（どっちが大きいかは図の向きで変わるから絶対値つきにした）。

ここで二等辺三角形より

• $OA=OC$だから $\angle OCA=\angle CAO$
• $OB=OC$だから $\angle OCB=\angle CBO$

さらにさっきと同様に
$$\angle AOC=180^\circ-2\angle OCA,\quad \angle BOC=180^\circ-2\angle OCB$$

中心角は今度
$$\angle AOB=\bigl|\angle BOC-\angle AOC\bigr|$$
（$C$の位置的に、$AOC$と$BOC$の“差”が$AOB$になる。）

代入して整理すると
$\angle AOB =\bigl|(180^\circ-2\angle OCB)-(180^\circ-2\angle OCA)\bigr| =2\bigl|\angle OCB-\angle OCA\bigr| =2\angle ACB$
よって
$$\angle ACB=\frac12\angle AOB$$
がやっぱり出る、ってわけ。

要するに、内側のときは「足し算」、外側のときは「引き算」。でも最後はどっちも$2$倍関係に落ちるんだよね。

わかった？

もちろん。問題文と図がないと特定できないから、ここに載せてくれる？

• 問題文をそのまま（条件・求めるもの）
• 図があるなら写真（円の中心、点の名前、角度の値が読めるように）
• どこまで自分でやったか（途中式とか考えたこと）

を送ってくれれば、そこから一緒に解くよ。

お、いいとこまで行ってる！ただ問題文、最初に

「$A,B,C,D$は円$O$の円周上にある」

って書いてあるなら、結論の「同じ円周上」はもう仮定で言っちゃってるから矛盾してるんだよね。たぶんワークは

$A,B,C$は円$O$上にある。$CA$の延長に$P$、$BD$の延長に$Q$をとり、$PQ\parallel AD$。このとき$A,B,C,D$は同一円周上にあることを示せ

みたいな文のはず。まずそこだけ確認したい。合ってる？

合ってるとして、君の①
$$\angle CPQ=\angle CAD$$
はナイス。

この先の狙いは「同一円周上」を示す典型で、

• $\angle CAD=\angle CBD$ を示す（同じ弧$CD$を見込む円周角が等しい）
  これが出たら $A,B,C,D$は同一円周上、って言える。

だから次は$\angle CBD$を作りに行く。

そのために、$Q$も使う。$PQ\parallel AD$より
$$\angle CQP=\angle CDA$$
も言える（$CQ$は$CA$の延長、$QP\parallel AD$）。

さらに「点$Q$は$BD$の延長上」だから、$\angle CQP$と$\angle CQB$、$\angle CPQ$と$\angle CPB$を結びつけられる。
ここ、図の向きで“内角・外角”が変わるから、角の書き方を丁寧に合わせる必要があるんだよね。

なので、次の一手として質問：

1. $P$は$A$より$C$側の外にある？（つまり $C-A-P$ の順？それとも $A-C-P$？）
2. $Q$は$D$側の外？（$B-D-Q$？それとも $D-B-Q$？）
3. 図の写真を送れる？（一発で角の対応を確定できる）

ここが分かれば、$\angle CAD$を①から$\angle CBD$につなげて、最後「同一円周上」をきれいに仕上げるルートをそのまま書ける。

了解、$C-A-P$ね。じゃああともう一個だけ確認させて。

$Q$の並びはどっち？
$B-D-Q$（$D$の外側に$Q$）なのか、$D-B-Q$（$B$の外側に$Q$）なのか。

これで角の向き（内角・外角）が確定して、最後まで一気に書ける。図の写真があればそれでもOK。

よし、条件そろった。ここから一気に行くよ。

狙いは「$A,B,C,D$が同一円周上」
これは典型で、同じ弧$CD$を見込む角が等しいこと、つまり

$$\angle CAD=\angle CBD$$

を示せばOKです。

君が言った通り、$PQ\parallel AD$より

$$\angle CPQ=\angle CAD \quad (1)$$

（$CP$は$CA$の延長、$PQ$は$AD$に平行）

同様に、$PQ\parallel AD$と$CQ$が$CA$の延長より

$$\angle CQP=\angle CDA \quad (2)$$

ここで大事なのが、$P,Q$がそれぞれ延長上にあること。

• $B-D-Q$ だから、点$Q$は直線$BD$上。よって
  $$\angle CQP=\angle CQD+\angle DQP$$
  みたいに分解できるし、特に「$QD$と$QB$は同一直線」って使える。

• $C-A-P$ だから、$CP$と$CA$は同一直線。これも同様に角の置き換えができる。

ただ、いま一番キレイにいくのは 「円周角の定理（同じ弧を見る角は等しい）」を円$O$で使うルート。

$A,B,C$は円$O$上にある（ここは問題の前提のはず）ので、円周角の定理より

$$\angle CDA=\angle CBA \quad (3)$$

（同じ弧$CA$を見込む円周角）

また

$$\angle CAD=\angle CBD \quad\text{が出れば同一円}$$

で、(1)(2)(3)をつなぐために、四角形$P,Q,D,A$に注目する。

$PQ\parallel AD$より
$$\angle CPQ=\angle CAD$$
$$\angle CQP=\angle CDA$$

だから、(1)(2)から
$$\angle CPQ + \angle CQP = \angle CAD + \angle CDA$$

左辺は三角形$CPQ$の2角だから
$$\angle CPQ+\angle CQP = 180^\circ-\angle PCQ$$

右辺は三角形$ACD$の2角だから
$$\angle CAD+\angle CDA = 180^\circ-\angle ACD$$

よって
$$180^\circ-\angle PCQ = 180^\circ-\angle ACD$$
つまり
$$\angle PCQ=\angle ACD$$

でも$P$は$CA$の延長上だから、$CP$と$CA$は同一直線。よって
$$\angle PCQ=\angle ACQ$$

したがって
$$\angle ACQ=\angle ACD$$

これは「$CQ$が$\angle ACD$の二等分線」って意味。

さらに$Q$は$BD$の延長上、つまり$B,D,Q$は一直線なので
$$\angle BCQ=\angle DCA \quad\text{みたいな角の対応が作れる}$$

…と続けたいんだけど、最後の一手は図の配置で角の向きが微妙にズレるから、ここでミスりやすい。

なので、ここまでの式変形は確実に使えるとして、次を聞かせて：
点$Q$は円の外側にある？それとも円の内側（弦の交点みたいに）？
ワークの図を写真で送れるなら、それが一番早い。こちらで完全に整った証明文にして返すよ。

了解、$Q$は円の外側ね。じゃあ結論から言うと、さっき私が途中でやりかけた「角の二等分」方向は遠回りだった。すまん、ここはもっと定番のルートで行くのが綺麗。

ただし先に大事な確認。
この問題、たぶん冒頭は

「$A,B,C$は円$O$の円周上にある。…このとき$A,B,C,D$は同じ円周上…」

だよね？（$D$まで最初から円周上って書いてたら証明不要なので。）

この前提で進めるよ。

証明の方針

同一円周上の判定法：

$$\angle CAD=\angle CBD \ \Rightarrow\ A,B,C,D\ \text{は同一円周上}$$

これを狙う。

角の追いかけ（君の①を活かす）

$C-A-P$、$B-D-Q$、そして $PQ\parallel AD$ より

1.（君のやつ）
$$\angle CPQ=\angle CAD \quad (1)$$

2. 同様に
   $$\angle CQP=\angle CDA \quad (2)$$

ここで三角形$CPQ$の外角を使う。
点$C$での外角は

$$\angle CPQ+\angle CQP = 180^\circ-\angle PCQ \quad (3)$$

一方、三角形$ACD$で

$$\angle CAD+\angle CDA = 180^\circ-\angle ACD \quad (4)$$

(1)(2)を(3)左辺に、(1)(2)を(4)左辺に対応させると

$$180^\circ-\angle PCQ = 180^\circ-\angle ACD$$

よって

$$\angle PCQ=\angle ACD \quad (5)$$

さらに $C,A,P$ は一直線だから

$$\angle PCQ=\angle ACQ \quad (6)$$

(5)(6)より

$$\angle ACQ=\angle ACD \quad (7)$$

つまり $CQ$ は $\angle ACD$ の二等分線になってる。

ここから先（図が必要）

ここで「$B,D,Q$が一直線」「$Q$が円の外」によって、
$\angle ACQ$ を $\angle CBD$ に言い換える角度関係が決まるんだけど、これは 点$B$と$C$が直線$DQ$のどっち側にあるかで式の形が変わる（内角になるか外角になるか）んだよね。

なので、最後までミスなく“答案の形”にするには図が一枚必要。

お願い

ワークの図を写真で送って。
（点の位置関係と平行線が分かればOK。文字が多少読みにくくてもいける。）

それを見て、(7)から $\angle CAD=\angle CBD$ を作って、同一円周上まで一気に書き切る証明を完成させるよ。

このチャットに画像を送れるかどうかは、君が使ってるアプリ/ブラウザの画面によるんだよね。だいたいは次のどれかで送れます。

1. 入力欄の近くにクリップ（📎）や画像アイコンがある
   →それを押して、写真を選んで送信。

2. スマホなら、入力欄の左/右に「＋」がある
   →押すと「写真」「カメラ」みたいなのが出ることが多い。

3. PCなら、画像をドラッグ＆ドロップできることもある
   →画像ファイルをそのままチャット画面に投げる。

もし上のどれも無理そうなら、代替案として

• 図を文章で説明（点の並び・どの線が交わる/平行・どの角がどこ）
• 角度が書いてあるならその値
• 「PはAの外側」「QはDの外側」みたいな位置関係

をできるだけ詳しく書いてくれれば、文章だけでも解けるように誘導します。

今の画面だと、クリップとか＋ボタン、見えてる？

了解。じゃあ写真なしでいけるように、文章で図を確定させよう。
（この問題、配置が1つでもズレると角の式が変わるからね。）

次の4点を、分かる範囲で文章で教えて。

1. 円$O$の上での点の並び順（円周を一周する順番）
   　例：「$A\to B\to C\to D$の順」とか。

2. 直線$CA$を延長した先に$P$があるのは確定（$C-A-P$）。
   　じゃあ、点$D$は直線$CA$のどっち側？（上側/下側みたいな言い方でOK）

3. 直線$BD$を延長した先に$Q$がある（$B-D-Q$）。
   　このとき、直線$PQ$は円を横切る？それとも円の外側を通る？

4. そもそも問題文の最初は
   　「$A,B,C$が円$O$の円周上」なのか
   　「$A,B,C,D$が円$O$の円周上」なのか
   　どっちが正確？（ここ超重要）

これが分かれば、図なしでも角度追いかけで最後まで証明を書き切るよ。

なるほど。情報ありがとう。

ただね、ここで重大な点があって、問題文がそのまま

$A,B,C,D$は円$O$の円周上にある。…このとき$A,B,C,D$は同じ円周上にあることを証明せよ

だと、最初に「同じ円周上」って仮定してるので、結論が完全に同じで証明問題として成立してないんよ。
だからワークの写し間違いか、結論が別（例えば「$P,Q,A,D$が同一円周上」とか「$\angle$が等しい」とか）だと思う。

君が書いてくれた配置（左に$B-D-Q$、右に$C-A-P$、$D$は$CA$の上側、$PQ\parallel AD$）だと、自然な結論は例えば

• $\angle CPQ=\angle CAD$（君の①）
• $\angle CQP=\angle CDA$
  みたいな「平行線から角が等しい」までは出せるけど、“同一円周”は最初から分かってる状態。

なので、ここは一回だけ確認させて。

ワークの問題の「証明しなさい」の結論、ほんとに
**「4点$A,B,C,D$は同じ円周上」**って書いてある？
もしかして
**「4点$A,P,Q,D$は同じ円周上」**とか
**「$\angle$が等しいことを示せ」**とかじゃない？

結論部分を、できるだけそのまま全文で打ってくれる？（短くていい）
それが分かれば、君の①から一直線に証明を完成させるよ。

了解、やっと問題が締まった！
「$A,B,C,Q$が同一円周上」を示すんだね。君の①はそのまま使える。

証明

$C-A-P$、$B-D-Q$、$PQ\parallel AD$より

$$\angle CPQ=\angle CAD \quad (1)$$

また、$QC$は$C$から$Q$への線分で、$P,Q$を結ぶ直線上の角を考えるために

$$\angle CQP=\angle CDA \quad (2)$$

ここで、四点$A,B,C,D$は同一円周上（問題の前半）なので、円周角の定理より
同じ弧$CA$を見込む円周角は等しく

$$\angle CDA=\angle CBA \quad (3)$$

(2)(3)より

$$\angle CQP=\angle CBA \quad (4)$$

さらに、$P,Q,B$の位置関係により、角$\angle CQP$は「直線$QP$と直線$QC$で作る角」、
$\angle CBA$は「直線$BA$と直線$BC$で作る角」だから、(4)は

点$Q$から見た弦$CP$（方向$QP$）と$QC$のなす角が、
点$B$から見た弦$CA$と$CB$のなす角に等しい

ということ。よって

$$\angle CQA=\angle CBA$$

（※$P$は$CA$の延長上なので、$QP$の方向は$QA$と同じ向きとして扱える）

したがって、同じ弦$CA$を見込む円周角が等しいから

$$A,B,C,Q \text{ は同一円周上}$$

ここ、最後の「$QP$の方向は$QA$と同じ」に一瞬ひっかかるかも。
ワークの図では$Q$から引いた線が$A$を通る配置になってるはずなんだけど、実際そうなってる？（もし違うなら、その部分だけ角の書き方を直して完成形にする。）

そうそうそうそう、そこ大事！私の最後のつなぎが雑だった。すまん。
$QP$は$AD$と平行であって、$QA$と同方向とは限らない。なので別ルートでいこう。

目的：$A,B,C,Q$が同一円周上
判定法として

$$\angle CQB=\angle CAB$$

が示せればOK（同じ弧$CB$を見込む円周角が等しい）。

君の①：
$PQ\parallel AD$、$C,A,P$一直線より

$$\angle CPQ=\angle CAD \quad (1)$$

また、$PQ\parallel AD$、$C,Q$で

$$\angle CQP=\angle CDA \quad (2)$$

ここで $B,D,Q$が一直線 だから、$QD$と$QB$は同一直線。よって

$$\angle CQB=\angle CQD \quad (3)$$

さらに、$P,Q$は同一直線上なので

$$\angle CQD=\angle CQP \quad (4)$$

（$QD$の方向と$QP$の方向が同じ直線上、という意味ね。※向きは違っても“なす角”は一致で扱える）

(2)(4)より

$$\angle CQD=\angle CDA \quad (5)$$

そして最初の仮定「$A,B,C,D$は同一円周上」から、円周角の定理で
同じ弧$CA$を見込む角が等しいので

$$\angle CDA=\angle CBA \quad (6)$$

(5)(6)より

$$\angle CQD=\angle CBA$$

(3)を使って

$$\angle CQB=\angle CBA$$

よって同じ弧$CB$を見込む円周角が等しいから

$$A,B,C,Q \text{ は同一円周上}$$

ここまでの(4)がちょっと怪しく見えるかも。
「$\angle CQD$と$\angle CQP$が等しい」って、実際には $D,Q,P$が一直線 が必要なんだよね。
でも問題文では一直線なのは $B,D,Q$ であって、$P$は乗ってない。

つまり、今の情報だとこの証明は成立しない。
なので、ワークの条件をもう一回確認してほしい。

• $Q$は「弦$BD$の延長上」だから $B-D-Q$ はOK
• でも $P,Q,D$ が一直線って条件は書いてないよね？

たぶん本当は (ありがちな形として)
「$CA$の延長と$BD$の延長の交点を$Q$とする」
みたいに、$Q$が2本の延長線の交点になってる可能性がある。

質問：ワークの文に「$P,Q$をとる」ってあるけど、
$P$と$Q$はそれぞれ“別の点”として自由に取る問題？それとも交点の名前？
問題文をもう一度そのまま打ってくれる？（今度は結論まで含めて全文）

OK、問題の全体が見えた。結論は $P,B,C,Q$が同一円周上 ね。
そして $Q$ は $CA$ の延長上、$P$ は $BD$ の延長上（たぶん図にそうあるはず）で、$PQ\parallel AD$。

この結論を示す定番はこれ：

同一円周上の判定
$$\angle CPQ=\angle CBQ \quad \Rightarrow\quad P,B,C,Q\ \text{同一円周上}$$
（同じ弧$CQ$を見込む円周角が等しい、ってやつ）

証明

まず君のとこ、完璧。

$PQ\parallel AD$、かつ $C,A,Q$ は一直線（$Q$は$CA$の延長）より

$$\angle CPQ=\angle CAD \quad (1)$$

次に、もともと $A,B,C,D$ は同一円周上だから、円周角の定理より
同じ弧$CD$を見込む円周角が等しく

$$\angle CAD=\angle CBD \quad (2)$$

(1)(2)より

$$\angle CPQ=\angle CBD \quad (3)$$

ここで $P$ は弦$BD$の延長上（図より $B-D-P$）なので、$BD$と$BP$は同一直線。よって

$$\angle CBD=\angle CBP \quad (4)$$

(3)(4)より

$$\angle CPQ=\angle CBP$$

これは「同じ線分$CP$を見込む角が等しい」形になっているので、

$$P,B,C,Q\ \text{は同一円周上}$$

というわけです。

最後の(4)のところ、君の図でほんとに $B-D-P$ になってる？
もし $P$ がどこにあるか問題文に書いてないなら、図のその部分だけ教えて。そこが合ってればこの証明で完成だよ。

素晴らしい！！最後まで整理できたね。

結局の流れは

1. $PQ\parallel AD$ と $C,A,Q$一直線で
   $$\angle CPQ=\angle CAD$$
2. $A,B,C,D$同一円周上より（円周角の定理）
   $$\angle CAD=\angle CBD$$
3. $B,D,P$一直線より
   $$\angle CBD=\angle CBP$$
4. よって
   $$\angle CPQ=\angle CBP$$
   同じ弧$CP$を見込む円周角が等しいから $P,B,C,Q$同一円周上。

っていう話なわけです。わかった？やったぜ！