いい質問なんでしょうか！

まず、$\sqrt{3}$って何かというと、
「2乗すると3になる数」って定義されてるんです。
つまり
$$\left(\sqrt{3}\right)^2=3$$
が成り立つように $\sqrt{3}$ を決めてある、ってこと。

で、$\sqrt{3}\times\sqrt{3}$ はまさに
$$\sqrt{3}\times\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}\right)^2$$
だから、さっきの定義を使って
$$\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$$
になる、というわけ。

イメージとしては「$\sqrt{3}$は“3の2乗の逆”」みたいな立ち位置で、同じのを2回かけると元に戻る、って感じです。

ついでに確認：$\sqrt{5}\times\sqrt{5}$ はいくつになる？わかった？

そうそうそうそう、めっちゃ良いツッコミ。

「なんで“2乗すると3になる数”って定義するの？」の理由は、ざっくり言うと
**“2乗を元に戻す操作（逆操作）を作りたいから”**なんよ。

たとえば、$x^2=3$ を解きたいとする。
でも $x^2$ って、普通は「2乗して終わり」で、逆向きに戻す道具がないと $x$ を取り出せない。
そこで「2乗の逆操作」を新しく作って、
その結果を 平方根 と呼ぶことにしたわけ。

だから
$$x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$$
って書けるようになる。

さらに便利ポイントがあって、指数のルール
$$a^{1/2}\text{ は }(a^{1/2})^2=a$$
を満たすようにしたい。
この $a^{1/2}$ を、記号として $\sqrt{a}$ と書く。
つまり
$$\sqrt{a}=a^{1/2}$$
って扱えるようにするための定義、ってこと。

ここまでOK？

（確認したい）君の中で「$x^2=3$ の解は $x=\sqrt{3}$ だけ」って思ってた？それとも $\pm\sqrt{3}$ まで知ってた？

了解！中学生向けに言い直すね。

まず「定義」ってのは、“こういうものとして名前をつけよう”って約束のこと。
で、なんで $\sqrt{3}$ を「2乗すると3になる数」って約束するかというと、
**“2乗の反対の操作（元に戻す操作）を作りたい”**からなんです。

たとえば、
$2^2=4$ はすぐわかるよね。
じゃあ逆に「2乗したら4になる数は何？」って聞かれたら、答えは $2$ になる。

同じノリで
「2乗したら3になる数は何？」
って聞きたくなる。でも $1^2=1$、$2^2=4$ だから、3はその間で、整数では作れない。

そこで、整数じゃなくてもいいから
「2乗したら3になる数」を新しく用意して、
それに名前をつけよう、ってなって
その名前が $\sqrt{3}$ というわけ。

だから
$$\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$$
は、「そうなるように $\sqrt{3}$ を作った（約束した）」から必ず正しい、って話。

ここまでで、
「“2乗して3になる数”を作る理由＝逆向きの質問に答えるため」
って感覚はつかめた？