いい質問。いま言ってる疑問は「接空間なんてただのベクトル空間なのに、どうやって曲がったリー群全体の構造が分かるの？」ってことだよね。

まず確認したいんだけど、君のイメージしてる「再現」って、次のどれに近い？

1. 位相や多様体としての形（球面っぽいとか）まで全部わかる
2. 群としての掛け算が（少なくとも局所的に）わかる
3. 行列リー群みたいに、指数関数で本当に元が作れる

もう一つ。今どの辺まで知ってる？

• $\exp: \mathfrak g \to G$（指数写像）って言葉は聞いたことある？
• ブラケット $[X,Y]$ が「非可換のずれ」を表す、みたいな話は知ってる？

ここがわかると説明の出し方がピタッと合うので、上の2つ答えてくれる？

なるほど、今の理解状況いいね。結論から言うと「リー代数がリー群を再現する」ってのは、**リー群の“局所的な群構造”**を再現する、って意味で、
位相や多様体としての大域的な形（球面っぽさとか）までは一般に再現できないんだ。

例えば $SO(3)$（回転全体の群）と、その被覆群の $SU(2)$ は、リー代数はどっちも同じ（$\mathfrak{so}(3)\cong \mathfrak{su}(2)$）なんだけど、
多様体としては $SO(3)$ は「$\mathbb{RP}^3$」で、$SU(2)$ は「$S^3$」で別物。つまり同じリー代数でも別のリー群がありえるってこと。

じゃあ何が“再現”できるか。
単位元の近くで「ちょっとだけ動かす」を考える。
その“ちょっと動かす方向”が接空間 $T_eG$ で、これがベクトル空間としてのリー代数 $\mathfrak g$。
さらに $\mathfrak g$ にはブラケット $[X,Y]$ って構造が入るんだけど、これが

「2つの微小変換を順番にやったときの、非可換のズレの一次の情報」
を記録してる。

イメージとしては
$\exp(tX)$ を「$X$ 方向に時間 $t$ だけ流す微小な群要素」だと思う（指数写像はその対応）。
すると
$\exp(tX)\exp(tY)$ と $\exp(tY)\exp(tX)$ は、可換じゃない群だとズレる。
そのズレはだいたい $t^2$ のオーダーで出てきて、その主要項が $[X,Y]$ で決まる、っていうのが超大事な事実なんだ。
（このへんは BCH公式ってやつの入口。）

だからリー代数は

• 単位元の近くでの積のしかた（局所群構造）
• その結果としての対称性・保存量の構造（物理で効く）
  を握ってる、っていうわけ。

ここまでOK？
次、**「局所がわかると何が嬉しいのか」**と、指数写像が「どこまで群全体を作れるか」を話すと一気に腹落ちすると思う。